Elementos de geometría euclidiana. Un enfoque axiomático
Reseña
Ante la dificultad que ofrece inicialmente el abordaje de la geometría euclidiana como una teoría axiomática, muchas veces se opta por renunciar a esta forma de presentación, reduciendo los cursos a una exposición expedita de los axiomas y a un listado de los teoremas centrales, en la búsqueda de obtener resultados rápidos que permitan llegar prontamente a la solución de problemas. Sin embargo, de este modo se deja de proveer al estudiante de las herramientas suficientes para poder acceder al estudio de la teoría, a la comprensión de las argumentaciones y a la obtención satisfactoria de aprendizajes realmente significativos.
En este texto sobre Elementos de geometría euclidiana se parte de que es posible hacer un desarrollo axiomático de esta disciplina en los cursos de los primeros niveles en los programas de orientación universitaria, asumiendo como elementos dinamizadores permanentes el razonamiento lógico y la utilización de términos y relaciones precisos (lenguaje matemático), con lo cual se potencian en el estudiante todas las competencias que apuntan a la consolidación de un pensamiento formal, y a la vez se fortalece la habilidad no solo en la resolución de problemas sino también en su formulación, en múltiples aplicaciones y en diversos campos.
Los contenidos, las orientaciones metodológicas y las consideraciones sobre la argumentación y la demostración plasmadas en este libro corresponden a las reflexiones recogidas por la autor durante sus años de estudio y ejercicio como profesor de geometría tanto euclidiana como vectorial y como asesor de maestros en el área de enseñanza de las matemáticas.
Contenido
Prólogo
Introducción
La argumentación en la enseñanza de la geometría euclidiana
Capítulo 1. Elementos básicos del cálculo proposicional y cuantificacional
Introducción
Objetivos específicos
1.1 Teoría axiomática o deductiva
1.2 Elementos básicos del cálculo proposicional
1.2.1 Simbolización de proposiciones
1.2.2 Tablas de verdad
1.3 La implicación lógica
1.3.1 Definición. El condicional
1.3.2 Definición. La implicación lógica
1.3.3 Definición. El bicondicional
1.3.4 Definición. Equivalencia lógica
1.3.5 Definición. Implicaciones asociadas
1.3.6 Equivalencias lógicas fundamentales en el cálculo proposicional, el cálculo cuantificacional y la teoría de conjuntos
1.4 La demostración
1.4.1 El proceso demostrativo
1.4.2 Reglas de inferencia
1.5 Métodos de demostración
1.5.1 Método directo o de la hipótesis auxiliar
1.5.2 Método del contrarrecíproco
1.5.3 Método de demostración por contradicción o reducción al absurdo 20 1.5.4 Método de casos o silogismo disyuntivo
1.5.5 Método del contraejemplo
1.6 Ejercicios propuestos
Capítulo 2. Axiomas de incidencia y axiomas de orden
Introducción
Objetivos específicos
2.1 Elementos geométricos
2.2 Grupo I. Axiomas de incidencia
2.3 Grupo II. Axiomas de orden
2.4 Ejercicios propuestos
2.5 Ejercicios resueltos
Capítulo 3. Axiomas de congruencia
Introducción
Objetivos específicos
3.1 La relación de congruencia
3.2 Grupo III. Axiomas de congruencia
3.3 Ejercicios propuestos
3.4 Las relaciones mayor (respectivamente menor) en los segmentos y en los ángulos
3.5 Ejercicios propuestos
3.6 Ejercicios resueltos
Capítulo 4. Axiomas de continuidad
Introducción
Objetivos específicos
4.1 Los axiomas de continuidad
4.2 Medición de segmentos
4.3 Medida de ángulos
4.4 Ejercicios propuestos
4.5 Ejercicios resueltos
Capítulo 5. La relación de paralelismo. Resultados previos al V Postulado de Euclides
Introducción
Objetivos específicos
5.1 La relación de paralelismo
5.2 Primer criterio de paralelismo. Teorema de los ángulos alternos internos (primera versión)
5.3 Teorema del ángulo exterior (primera versión)
5.4 Existencia única de la perpendicular a una recta, por un punto exterior a ella
5.5 Existencia de la paralela a una recta, por un punto exterior a ella
5.6 Cuarto caso general de congruencia de triángulos (L-A-A)
5.7 La congruencia en los triángulos rectángulos
5.8 Ejercicios propuestos
5.9 Ejercicios resueltos
Capítulo 6. El V Postulado de Euclides y sus consecuencias
Introducción
Objetivos específicos
6.1 V Postulado de Euclides (VPI)
6.2 El postulado de la paralela única de Playfair
6.3 Nota histórica
6.4 Equivalencia entre el VPE y el postulado de Playfair
6.5 Teorema recíproco del teorema de los ángulos alternos internos
6.6 Congruencia de los segmentos opuestos, determinados por la intersección de dos paralelas con otras dos paralelas
6.7 Suma de los ángulos interiores en un triángulo
6.8 Teorema del ángulo exterior (segunda versión)
6.9 Teorema de la paralela media en un triángulo.
6.10 Propiedades de los puntos notables de un triángulo
6.11 Ejercicios propuestos
6.12 Ejercicios resueltos
Capítulo 7. Desigualdades en el triángulo
Introducción
Objetivos específicos
7.1 Relaciones de lados versus ángulos en un mismo triángulo
7.2 Relaciones de ángulos versus lados en un mismo triángulo
7.3 Relaciones de perpendicular versus oblicuas. 166
7.4 Teorema de la desigualdad triangular
7.5 Teorema de la bisagra (charnela)
7.6 Teorema dual de la bisagra
7.7 Ejercicios propuestos
7.8 Ejercicios resueltos
Capítulo 8. Poligonales y polígonos
Introducción
Objetivos específicos
8.1 Poligonal
8.2 Polígono simple
8.3 Diagonal de un polígono
8.4 Interior y exterior de un polígono
8.5 Polígono convexo y polígono cóncavo
8.6 Polígono regular
8.7 Designación de algunos polígonos según el número de lados
8.8 Número de diagonales de un polígono convexo
8.9 Suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados
8.10 Clasificación de los triángulos
8.11 Cuadriláteros convexos especiales
8.12 Propiedades por equivalencia del paralelogramo
8.13 Propiedades por equivalencia del rectángulo
8.14 Propiedades por equivalencia del rombo
8.15 Propiedades del trapecio
8.16 Ejercicios propuestos
8.17 Ejercicios resueltos
Capítulo 9. La circunferencia
Introducción
Objetivos específicos
9.1 Nociones básicas
9.2 Proposiciones fundamentales
9.3 Posiciones relativas de una recta y una circunferencia coplanarias
9.4 Posiciones relativas de dos circunferencias coplanarias
9.5 Medida de arcos
9.6 Arcos y cuerdas
9.7 Arcos y ángulos
9.8 Polígonos convexos inscritos y circunscritos en una circunferencia
9.9 Ejercicios propuestos
9.10 Ejercicios resueltos
Capítulo 10. Polígonos semejantes
Introducción
Objetivos específicos
10.1 Nociones y proposiciones fundamentales
10.1.1 Propiedades básicas de las fracciones
10.2 Semejanza entre polígonos
10.3 Semejanza de triángulos
10.4 Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
10.5 Relaciones métricas en triángulos no rectángulos
10.6 Relaciones métricas en la circunferencia
10.7 Ejercicios propuestos
10.8 Ejercicios resueltos
Capítulo 11. Áreas de figuras planas
Introducción
Objetivos específicos
11.1 La función de área
11.2 Áreas de los polígonos básicos
11.3 Área de un polígono regular
11.4 La cuadratura de un polígono convexo de n lados
11.5 Longitud y área de la circunferencia. El número R. Área de un sector circular
11.6 Ejercicios propuestos
11.7 Ejercicios resueltos
Capítulo 12. Geometría del espacio
Introducción
Objetivos específicos
12.1 Nociones básicas
12.2 Clasificación de los poliedros convexos
12.2.1 Prismas
12.2.2 Pirámides
12.3 La función de volumen
12.4 Cuerpos redondos
12.4.1 El cilindro
12.4.2 El cono
12.4.3 La esfera
12.5 Ejercicios propuestos
12.6 Ejercicios resueltos
Capítulo 13. Construcciones y lugares geométricos
Introducción
Objetivos específicos
13.1 Construcciones. Ejercicios resueltos
13.2 Construcciones. Ejercicios propuestos
13.3 Lugares geométricos. Ejercicios resueltos
13.4 Lugares geométricos. Ejercicios propuestos
Anexo 1.
Sugerencias al profesor y al estudiante
Sugerencias metodológicas sobre la evaluación
Orientaciones metodológicas
Anexo 2.
Algunos modelos de geometrías no euclidianas
1. Geometría no euclidiana hiperbólica
1.1 Modelo de Klein
1.2 Modelo de Poincaré
2. Geometría no euclidiana elíptica
Bibliografía
Bibliografía electrónica